Hamilton-Jacobische Theorie

Editor Gaussových spisů a matematik Ernst Schering shrnul ve své monografii dosavadní poznatky o Hamiltonově-Jacobiho rovnici, která zobecňuje v mechanice polohu a hybnost. Tato formule je důležitým zobecněním v oblasti teoretické mechaniky, ale bylo by velmi laciné vycházet z definic a charakteristik, jež jsou přístupné v odborné literatuře i ve virtuálním prostoru internetu. Přínosnější je se podívat na Hamiltonovu-Jacobiho rovnici prizmatem nástroje, který k popisu jednotlivých modelů či vývojových stupňů matematiky a fyziky rozvinul slovenský filozof matematiky a fyziky Ladislav Kvasz. V knize Jazyk a zmena Ladislav Kvasz tvrdí, že vzhledem k tomu, že se matematika považuje za jazyk vědy, si již neuvědomujeme, že „sama matematika má jazykový rozměr“. Autor zde rozvíjí originální teorii potencialit jazyka matematiky, v níž nematematickými verbálními prostředky vytvořil takovou míru obecnosti popisu matematického jazyka, která mu umožňuje popsat a analyzovat změny, jež proběhly v nejhlubších vrstvách tohoto oboru. Matematiku lze tedy vyjádřit nejen kvantifikací a jazykem symbolů, ale také slovním uchopením. Kvasz tak činí pomocí šesti aspektů jazyka matematiky – logické, expresivní, metodické, integrativní, explanatorické a konstitutivní síly, přičemž logická síla je způsob, jímž jazyk vyjadřuje všeobecnost, expresivní síla je způsob, jímž jazyk generuje komplexnost, a tedy schopnost popisovat stále složitější situace, metodická síla nám poskytuje stále silnější analytické metody, respektive je to schopnost jazyka explicitně vyjádřit epistemický rozdíl mezi poznaným a hledaným, integrativní síla je schopnost jazyka nacházet jednotu tam, kde předešlá stadia ukazovala jen vzájemně izolované a nesouvislé případy, tedy schopnost jazyka dosahovat stále vyššího stupně jednoty, explanatorická síla nám umožňuje vysvětlit dosavadní neúspěchy a konstitutivní síla zavádět stále neobvyklejší objekty. Těchto šest aspektů matematiky nám umožňuje pochopit její „jazykový rozměr“.

Podobný nástroj pochopení vyvinul Kvasz i pro fyziku v knize Zrod vedy ako lingvistická udalost. Galileo, Descartes a Newton ako tvorcovia jazyka fyziky. Tato práce je pozoruhodná minimálně ze dvou důvodů. Jednak se filozofií vědy, matematiky a jazyka zabývá v převážné většině analytická filozofie, která má blízko k logicky reglementovanému (původně přirozenému) jazyku. Kvasz však naopak a zcela netradičně vychází z kritiky Husserlovy Krize evropských věd a transcendentální fenomenologie, aniž by se ovšem opíral o fenomenologickou terminologii v té podobě, v níž ji zakladatel fenomenologii Edmund Husserl rozvinul. Za druhé ve své knize Kvasz rozvinul systém úrovní, na nichž dochází k významným inovacím fyziky. Jak zdůrazňuje Kvasz, Husserlovou zásluhou hovoříme o tělesech a jejich pohybech jako o intencionálních objektech, které vznikají v procesu idealizace, během něhož se suspenduje Lebenswelt, tedy svět, v němž jsme zkušenostně zakotveni, a teoreticky sledované aspekty našeho života nahrazuje fyzika matematickou idealitou.

Novověká fyzika vyvinula dva klíčové pojmy a nástroje – stav a pohybové zákony. Místo někdejších pozorování izolovaných jevů zobecněných v partikulárních pravidelnostech, s jakými pracuje ještě galileovská fyzika, popisují univerzální zákony fyziky změny stavu, což je případ právě Hamiltonovy-Jacobiho rovnice. Právě ta popisuje časový vývoj změny stavu. Je to základní rovnice nebo jedna ze základních rovnic klasické mechaniky. Abychom tuto rovnici zařadili na příslušný stupeň zobecnění v Kvaszem vyvinuté typologii, je třeba ji připomenout. Podle Kvasze je první a zároveň tou nejvyšší rovinou této typologie tzv. konstitutivní idealizace, jež zavádí ideální objekty nového druhu, např. čísla ve starověkém Egyptě či Babylonii či geometrické útvary v antickém Řecku nebo Keplerův popis eliptické dráhy Marsu. Druhou, nižší úrovní jsou re-prezentace, jež spočívají v zavedení souboru měřitelných veličin, v popisu stavu fyzikálního systému nebo ve vytvoření pohybové rovnice, která popisuje časový průběh změny stavu. Ještě nižší, třetí úroveň je objektace, a sem řadí Kvasz Hamiltonovy rovnice, protože „i když jsou Newtonovy, Langrangeovy a Hamiltonovy rovnice na první pohled dost odlišné, zakládají podobný typ dynamického systému“. Newtonovská, langrangeovská a hamiltonovská mechanika je podobná. Odlišnost spočívá „pouze“ v tom, že newtonovská mechanika popisuje soustavu Země – Měsíc jako dvě tělesa v trojrozměrném euklidovském prostoru, lagrangeovská popisuje tutéž soustavu jako jediné těleso v šestirozměrném prostoru a hamiltonovská mechanika popisuje soustavu Země – Měsíc jako jediné těleso v dvanáctirozměrném fázovém prostoru. Pro úplnost dodejme, že poslední, čtvrtou rovinou jsou re-formulace, jejímž příkladem je objev planety Uran na základě analýzy periodických poruch v pohybu Saturna.

Jak je to však s Hamiltonovou-Jacobiho rovnici? Ta, protože popisuje změnu stavu pomocí určení momentu hybnosti, patří do kategorie re-prezentací, tedy do druhé úrovně vědeckých inovací. Samozřejmě tento Kvaszův klasifikační systém možno kritizovat také proto, že kombinuje evoluční a typologické hledisko, aniž by přitom v konkrétním popisu mezi nimi rozlišoval, ale jako nástroj k pochopení míry inovativnosti nám pomáhá lépe porozumět to, čemu Thomas Kuhn říkal „struktura vědeckých revolucí“ a co pomocí pojmu paradigma zařadil mezi hybné momenty změn ve vědeckém nazírání na svět.

Sepsal: PhDr. Michal Janata